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  4. 代数式的概念整式的定义整式的加减整式的除法

的平方根是()A.B.C.D.

一、题文

的平方根是(  )
A.B.C.D.

考点提示:代数式的概念,整式的定义,整式的加减,整式的除法

二、答案

B
分析:先根据算术平方根的定义求出 的值,再根据平方根的定义进行解答即可.
解答:∵32=9,∴=3,的平方根是±
故选B.
点评:本题考查了平方根的定义,注意先求出 =3再求平方根,这也是本题容易出错的地方.

三、考点梳理

知名教师分析,《的平方根是()A.B.C.D.》这道题主要考你对 代数式的概念整式的定义整式的加减整式的除法 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:代数式的概念,整式的定义,整式的加减,整式的除法

考点名称:代数式的概念
  • 代数式:
    由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。
    单独一个数和字母也是代数式。
    例如:ax+2b,-2/3,b^2/26,√a+√2等。
  • 代数式的性质:
    (1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a. 
    (2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
    (3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。

    代数式的分类:
    在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
    一、有理式
      有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
            这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
      整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
    1.单项式
      没有加减运算的整式叫做单项式。
      单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
      单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
    2.多项式
            个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
            多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
            齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
            不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。          
             实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
             对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
             同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
      
    二、无理式
    含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。

  • 代数式的书写:
    (1)两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时,乘号都可以省略不写.如:“x与y的积”可以写成“xy”;“a与2的积”应写成“2a”,“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”。
    (2)字母与数字相乘或数字与括号相乘时,乘号可省略不写,但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”,不能写成“x2”;“长、宽分别为a、b的长方形的周长”要写成“2(a+b)”,不能写成“(a+b)2”。
    (3)代数式中不能出现除号,相除关系要写成分数的形式
    (4)数字与数字相乘时,乘号(也可以写作 · )仍应保留不能省略,或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“37xy”,最好写成“21xy”。
  • 代数式的产生:
               产生在古代,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
               代数是由算术演变来的,这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科,就很不容易说清楚了。比如,如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。
    如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练,那么,代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在中国,用文字来表达的代数问题出现的就更早了。
            “代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用,最早是在1859年。那年,清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书,译本的名称就叫做《代数学》。当然,代数的内容和方法,我国古代早就产生了,比如《九章算术》中就有方程问题。
    初等代数的中心内容是解方程,因而长期以来都把代数学理解成方程的科学,数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。
             要讨论方程,首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式,然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同,大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身,因而在代数中,它们都可以进行四则运算,服从基本运算定律,而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算,以区别于只包含四种运算的算术运算。
              在初等代数的产生和发展的过程中,通过解方程的研究,也促进了数的概念的进一步发展,将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围,使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容,就是数的概念的扩充。
    有了有理数,初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是,有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是,数的概念在一次扩充到了实数,进而又进一步扩充到了复数。
              那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解,还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说:不用了。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述,后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。
考点名称:整式的定义
  • 整式:
    是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中被除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。
    代数式中的一种有理式。不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。
  • 整式的组成性质:
    1.单项式
    (1)单项式的概念:数与字母的积这样的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也是单项式。
    注意:数与字母之间是乘积关系。
    (2)单项式的系数:单项式中的字母因数叫做单项式的系数。
    如果一个单项式,只含有字母因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为—1。
    (3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

    2.多项式
    (1)多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号,看作各项的性质符号。
    (2)单项式的次数:单项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
    (3)多项式的排列:
    1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
    2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
    由于多项式是几个单项式的和,所以可以用加法的运算定律,来交换各项的位置,而保持原多项式的值不变。

    为了便于多项式的计算,通常总是把一个多项式,按照一定的顺序,整理成整洁简单的形式,这就是多项式的排列。
    在做多项式的排列的题时注意:
    (1)由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动。
    (2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
    a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
    b.确定按这个字母向里排列,还是生里排列。
    (3)整式:
    单项式和多项式统称为整式。
    (4)同类项的概念:
    所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也叫同类项。

    掌握同类项的概念时注意:
    1.判断几个单项式或项,是否是同类项,就要掌握两个条件:
    ①所含字母相同。
    ②相同字母的次数也相同。
    2.同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关。
    3.几个常数项也是同类项。
    (5)合并同类项:
    1.合并同类项的概念:
    把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
    2.合并同类项的法则:
    同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母是指数不变。
    3.合并同类项步骤:
    ⑴.准确的找出同类项。
    ⑵.逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。
    ⑶.写出合并后的结果。

    在掌握合并同类项时注意:
    1.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
    2.不要漏掉不能合并的项。
    3.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
    合并同类项的关键:正确判断同类项。
  • 整式的计算:
    1. 单项式乘以单项式,系数与系数相乘的积作为积的系数,相同字母底数不变,指数相加,单独的字母不变,仍作为积的一个因式。
    2.单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所有的项相加。
    3.先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
    4.数字与数字相除,相同字母的进行相除,对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起作为商的一个因式。
    5.多项式除以单项式,先把这个多项式分别除以这个单项式,再把所得的商相加 。
    6.多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式,一般用竖式进行演算。
    (1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.
    (2)用除式的第一项去除被除式的第一项,得商式的第一项.
    (3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积.
    (4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式
    如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除.
    (5)如果被除式能分解因式且有因式与除式中的因式相同的,可以把被除式、除式分解因式。
    最重要的是必注意各项系数的符号。

    整式的四则运算:
    整式可以分为定义和运算,定义又可以分为单项式和多项式,运算又可以分为加减和乘除。
    加减包括合并同类项,乘除包括基本运算、法则和公式,基本运算又可以分为幂的运算性质,法则可以分为整式、除法,公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
    1. 整式的加减
    合并同类项是重点,也是难点。合并同类项时要注意以下三点:
    ①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:字母和字母指数;
    ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,多项式的项数会减少,达到化简多项式的目的;
    ③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变。
    2. 整式的乘除
    重点是整式的乘除,尤其是其中的乘法公式。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义,学生不易掌握。因此,乘法公式的灵活运用是难点,添括号(或去括号)时,括号中符号的处理是另一个难点。添括号(或去括号)是对多项式的变形,要根据添括号(或去括号)的法则进行。在整式的乘除中,单项式的乘除是关键,这是因为,一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。
    整式四则运算的主要题型有:
    (1)单项式的四则运算
    此类题目多以选择题和应用题的形式出现,其特点是考查单项式的四则运算。
    (2)单项式与多项式的运算
    此类题目多以解答题的形式出现,技巧性强,其特点为考查单项式与多项式的四则运算。

考点名称:整式的加减
  • 整式的加减:
    其实质是去括号和合并同类项,其一般步骤为:
    (1)如果有括号,那么先去括号;
    (2)如果有同类项,再合并同类项。
    注:整式加减的最后结果中不能含有同类项,即要合并到不能再合并为止。
  • 整式加减:
    整式的加减即合并同类项。把同类项相加减,不能计算的就直接拉下来。
    合并同类项时要注意以下三点:
    ①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准.字母和字母指数;
    ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的;
    ③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变。
  • 整式的乘除法:
考点名称:整式的除法
  • 整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。单项式相除,把它们的系数相除,同底数幂的幂相减,作为商的一个因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。 单项式除以多项式,用单项式除以多项式的每一项,再将所得的商相加并合并同类项。

  • 整式的除法法则:
    1、同底数的幂相除:法则:同底数的幂相除,底数不变,指数相减。
    数学符号表示: (a≠0,m、n为正整数,并且m>n)
    2、两个单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;
    对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式。
    3、多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。

  • 整式的除法运算:
    单项式÷单项式
    单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;
    对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
    注:单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的。

    多项式÷单项式
    多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
    说明:多项式(没有同类项)除以单项式,结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项。

    多项式÷单项式
    多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
    单项式除以多项式,用单项式除以多项式的每一项,再将所得的商相加并合并同类项。

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