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  4. 二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简三元(及三元以上)一次方程(组)的解法

计算(1)(2)

一、题文

计算
(1)(2)

考点提示:二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简,三元(及三元以上)一次方程(组)的解法

二、答案

(1)3;(2)

三、考点梳理

知名教师分析,《计算(1)(2)》这道题主要考你对 二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简三元(及三元以上)一次方程(组)的解法 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简,三元(及三元以上)一次方程(组)的解法

考点名称:二次根式的加减乘除混合运算,二次根式的化简
  • 二次根式的加减乘除混合运算:
    顺序与师叔运算的顺序一样,先乘方,后乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的。
    ①在运算过程中,多项式乘法,乘法公式和有理数(式)中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
    ②二次根式的加减乘除混合运算过程中,每个根式可以看作是一个“单项式”,多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
    ③运算结果是根式的,一般应表示为最简二次根式。
    二次根式的化简:
    先对分子、分母因式分解,能约分的就约分,能开方的就开方,或先对被开方数进行通分,然后再通过分母有理化进行化简。
  • 二次根式混合运算掌握:
    1、确定运算顺序。
    2、灵活运用运算定律。
    3、正确使用乘法公式。
    4、大多数分母有理化要及时。
    5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化。
    6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
    7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

    二次根式化简方法:
    二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容,初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
    分母有理化:
    分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程,以下列出分母有理化的几种方法:
    (1)直接利用二次根式的运算法则:
    例:
    (2)利用平方差公式:
    例:
    (3)利用因式分解:
    例:(此题可运用待定系数法便于分子的分解)

    换元法(整体代入法):
    换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法,是化简的重要方法之一。
    例:在根式中,令,即可得到
    原式=√(u2+9-6u)+√(u2+25-10u)=√(u-3)2+√(u-5)2=2u-8=2√(x+2)-8

    提公因式法:
    例:计算


    巧构常值代入法:
    例:已知x2-3x+1=0,求的值。
    分析:已知形如ax2+bx+c=0(x≠0)的条件,所求式子中含有的项,可先将ax2+bx+c=0化为x+=,即先构造一个常数,再代入求值。
    解:显然x≠0,x2-3x+1=0化为x+=3。
    原式==2.

考点名称:三元(及三元以上)一次方程(组)的解法
  • 三元一次方程的定义:
    就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数是1的整式方程。如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
    三元一次方程组:
    方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组。
    例如:就是三元一次方程组。
    注:三元一次方程组必须满足:
    1.方程组中有且只有三个未知数;
    2.含未知数的项的次数都是1.
    3.每个方程中不一定都含有三个未知数。

    三元一次方程(组)的解:
    一般的,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫作三元一次方程的解。
    三元一次方程组的三个方程的公共解,叫作三元一次方程的解。

  •  

  • 三元一次方程组的解题思路及步骤:
    思路:
    通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”转化为“二元”,即准化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程。
    解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.  
    类型:
    类型一:有表达式,用代入法;
    类型二:缺某元,消某元。还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的。
    步骤:
    ①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;  
    ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;  
    ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
    注意:
    ①要根据方程的特点决定首先消去哪个未知数;
    ②原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次;
    ③将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验,看每个方程等号左右两边的值是否相等,若都相等,则是原方程组的解,只要有一个方程等号左右两边的值不相等就不是原方程组的解。
    例:
    解方程组:
    发现三个方程中x的系数都是1,因此确定用减法“消x”.
    解法1:消x
    ②-① 得 y+4z=10 .④
    ③代人① 得5y+z=12 . ⑤
    由④、⑤解得:
    把y=2,代入③,得x=8.
    ∴   是原方程组的解.
    方程③是关于x的表达式,确定“消x”的目标。

    解法2:消x
    由③代入①②得 
     
    解得:
    把y=2代入③,得x=8.
    ∴   是原方程组的解。

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