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对于题目“化简并求值:1a+1a2+a2-2,其中a=15”,甲、乙两人的解答不同.甲的1a+1a2+a2-2=1a+(1a-a)2=1a+1a-a=2a-a=495;乙的1a+1a2+a2-2=1a

一、题文

对于题目“化简并求值:
1
a
+
1
a2
+a2-2
,其中a=
1
5
”,甲、乙两人的解答不同.
甲的
1
a
+
1
a2
+a2-2
=
1
a
+
(
1
a
-a)
2
=
1
a
+
1
a
-a=
2
a
-a=
49
5

乙的
1
a
+
1
a2
+a2-2
=
1
a
+
(a-
1
a
)
2
=
1
a
+a-
1
a
=a=
1
5

请你判断谁的答案是错误的,为什么?

考点提示:最简二次根式

二、答案

甲的a=
1
5
时,
1
a
-a=5-
1
5
=4
4
5
>0,所以
(
1
a
-a)
2
=
1
a
-a,正确;
乙的因为a=
1
5
时,a-
1
a
=
1
5
-5=-4
4
5
<0,所以
(a-
1
a
)
2
≠a-
1
a
,错误;
因此,我们可以判断乙的解答是错误的.

三、考点梳理

知名教师分析,《对于题目“化简并求值:1a+1a2+a2-2,其中a=15”,甲、乙两人的解答不同.甲的1a+1a2+a2-2=1a+(1a-a)2=1a+1a-a=2a-a=495;乙的1a+1a2+a2-2=1a》这道题主要考你对 最简二次根式 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:最简二次根式

考点名称:最简二次根式
  • 最简二次根式定义:
    被开方数中不含字母,并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式。
    有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。

  • 最简二次根式同时满足下列三个条件:
    (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
    (2)被开方数中不含有能开的尽的因式;
    (3)被开方数不含分母。
  • 最简二次根式判定:
    ①在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数就不是最简二次根式;
    ②在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式。

    化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
    ①如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
    ②如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

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