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  4. 二元一次方程组的解法一元一次不等式的解法

已知关于x,y的方程组的解满足x>y,求a的取值范围

一、题文

已知关于x,y的方程组的解满足x>y,求a的取值范围

考点提示:二元一次方程组的解法,一元一次不等式的解法

二、答案

解:
②×2﹣①得:7y=﹣2,y=﹣
把y=﹣代入①得:
2x﹣(﹣)=2a,
解得:x=a﹣
x>y,
∴a﹣>﹣
∴a>﹣
所以a的取值范围为:a>﹣

三、考点梳理

知名教师分析,《已知关于x,y的方程组的解满足x>y,求a的取值范围》这道题主要考你对 二元一次方程组的解法一元一次不等式的解法 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:二元一次方程组的解法,一元一次不等式的解法

考点名称:二元一次方程组的解法
  • 二元一次方程组的解:
    使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值,叫做方程组的解,即其解是一对数。
  • 二元一次方程组解的情况:
    一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。一般来说,一个二元一次方程有无数个解,而二元一次方程组的解有以下三种情况:
    1、有一组解。如方程组:
    x+y=5①
    6x+13y=89②
    x=-24/7
    y=59/7 为方程组的解

    2、有无数组解。如方程组:
    x+y=6①
    2x+2y=12②
    因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。

    3、无解。如方程组:
    x+y=4①
    2x+2y=10②,
    因为方程②化简后为
    x+y=5
    这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。

    可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况,如下列关于x,y的二元一次方程组:
    ax+by=c
    dx+ey=f
    当a/d≠b/e 时,该方程组有一组解。
    当a/d=b/e=c/f 时,该方程组有无数组解。
    当a/d=b/e≠c/f 时,该方程组无解。
  • 二元一次方程组的解法:
    解方程的依据—等式性质
    1.a=b←→a+c=b+c
    2.a=b←→ac=bc (c>0)

    一、消元法
    1)代入消元法
    用代入消元法的一般步骤是:
    ①选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式;
    ②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程,消去一个未知数,从而将另一个方程变成一元一次方程;
    ③解这个一元一次方程,求出 x 或 y 值;
    ④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b 或 x = ay + b),求出另一个未知数;
    ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程的解。
    例:解方程组 :
         x+y=5①

         6x+13y=89②
    解:由①得
    x=5-y③
    把③代入②,得
    6(5-y)+13y=89
    即 y=59/7
    把y=59/7代入③,得
    x=5-59/7
    即 x=-24/7
    ∴ x=-24/7
    y=59/7 为方程组的解
    我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法,简称代入法。

    2)加减消元法
    用加减法消元的一般步骤为:
    ①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数;
    ②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),
    再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;
    ③解这个一元一次方程;
    ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;
    ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。
    例:解方程组:
         x+y=9①

         x-y=5②
    解:①+②
    2x=14
    即 x=7
    把x=7代入①,得
    7+y=9
    解,得:y=2
    ∴ x=7
    y=2 为方程组的解
    利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。

    3)加减-代入混合使用的方法
    例:解方程组:
         13x+14y=41①

         14x+13y=40 ②
    解:②-①得
    x-y=-1
    x=y-1 ③
    把③ 代入①得
    13(y-1)+14y=41
    13y-13+14y=41
    27y=54
    y=2
    把y=2代入③得
    x=1
    所以:x=1,y=2
    特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元。

    二、换元法
    例:解方程组:
       (x+5)+(y-4)=8

       (x+5)-(y-4)=4
    令x+5=m,y-4=n
    原方程可写为
    m+n=8
    m-n=4
    解得m=6,n=2
    所以x+5=6,y-4=2
    所以x=1,y=6
    特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。

    三、设参数法
    例:解方程组:
          x:y=1:4

         5x+6y=29
    令x=t,y=4t
    方程2可写为:5t+6×4t=29
    29t=29
    t=1
    所以x=1,y=4

    四、图像法
    二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,
    两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。
考点名称:一元一次不等式的解法
  • 一元一次不等式的解集:
    一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。例如﹕
    不等式x-5≤-1的解集为x≤4;
    不等式x﹥0的解集是所有正实数。

    求不等式解集的过程叫做解不等式。
    将不等式化为ax>b的形式
    (1)若a>0,则解集为x>b/a
    (2)若a<0,则解集为x<b/a

    一元一次不等式的特殊解:
    不等式的解集一般是一个取值范围,但有时需要求未知数的某些特殊解,如求正数解、整数解、最大整数解等,解答这类问题关键是明确解的特征。

  • 不等式的解与解集:
    不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2>1的解
    ①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立。
    ②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是。
    ③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x>3的解,但也存在特殊情况,如|x|≦0,就只有一个解,为x=0

    不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
    ①不等式的解集一般是一个取值范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无数个解。
    ②不等式的解集包含两方面的意思:
    解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立。(即不等式不成立)
    ③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点。
  • 一元一次不等式的解法
    解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等式的符号。
    有两种解题思路:
    (1)可以利用不等式的基本性质,设法将未知数保留在不等式的一边,其他项在另一边;
    (2)采用解一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。 

    解一元一次不等式的一般顺序:
    (1)去分母 (运用不等式性质2、3)   
    (2)去括号   
    (3)移项 (运用不等式性质1)   
    (4)合并同类项。   
    (5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)   
    (6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
     
    不等式解集的表示方法:
    (1) 用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来。
    例如:x-1≤2的解集是x≤3。   
    (2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解。
    用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。

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