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  4. 一元二次方程的解法锐角三角函数的定义

已知α为锐角且cosα是方程2x2-7x+3=0的一个根,求1-2sinαcosα的值.

一、题文

已知α为锐角且cosα是方程2x2-7x+3=0的一个根,求
1-2sinαcosα
的值.

考点提示:一元二次方程的解法,锐角三角函数的定义

二、答案

∵cosα是方程2x2-7x+3=0的一个根,
∴由求根公式有,cosα=
-(-7)±
(-7)2-4×2×3;
2×2

∴cosα=
1
2
(cosα=3不符合题意,舍去),
∵sin2α+cos2α=1,
∴sin2α=1-(
1
2
2=
3
4

∴sinα=
3
2

1-2sinαcosα
=
sin2α+cos2α-2sinαcosα
=
(sinα-cosα)2
=sinα-cosα=
3
-1
2

三、考点梳理

知名教师分析,《已知α为锐角且cosα是方程2x2-7x+3=0的一个根,求1-2sinαcosα的值.》这道题主要考你对 一元二次方程的解法锐角三角函数的定义 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一元二次方程的解法,锐角三角函数的定义

考点名称:一元二次方程的解法
  • 一元二次方程的解:
    能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
    解一元二次方程方程:
    求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  • 韦达定理:
    一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
    一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
    x1+x2= -b/a
    x1·x2=c/a

  • 一元二次方程的解法:
    1、直接开平方法
    利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
    直接开平方法适用于解形如的一元二次方程,根据平方根的定义可知,x+a 是b的平方根,当时,;当b<0时,方程没有实数根。
    用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根。

    2、配方法
    配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
    配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有

    3、公式法
    公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
    一元二次方程 的求根公式:
    求根公式是专门用来解一元二次方程的,故首先要求a≠0;有因为开平方运算时,被开方数必须是非负数,所以第二个条件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b2-4ac≥0。

    4、因式分解法
    因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
考点名称:锐角三角函数的定义
  • 锐角三角函数
    锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
    初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中。所谓锐角三角函数是指:我们初中研究的都是锐角的三角函数。初中研究的锐角的三角函数为:正弦(sin),余弦(cos),正切(tan)。
    正弦:在直角三角形中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
    余弦:在直角三角形中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
    正切:在直角三角形中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
    锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

  • 锐角三角函数的增减性:
    1.锐角三角函数值都是正值
    2.当角度在0°~90°间变化时,
    正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;
    正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
    正割值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余割值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
    3.当角度在0°≤A≤90°间变化时,0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0;当角度在0°<A0, cotA>0。
  • 锐角三角函数的关系式:
    同角三角函数基本关系式
    tanα·cotα=1
    sin2α·cos2α=1
    cos2α·sin2α=1
    sinα/cosα=tanα=secα/cscα
    cosα/sinα=cotα=cscα/secα
    (sinα)2+(cosα)2=1
    1+tanα=secα
    1+cotα=cscα

    诱导公式
    sin(-α)=-sinα
    cos(-α)=cosα
    tan(-α)=-tanα
    cot(-α)=-cotα
    sin(π/2-α)=cosα
    cos(π/2-α)=sinα
    tan(π/2-α)=cotα
    cot(π/2-α)=tanα
    sin(π/2+α)=cosα
    cos(π/2+α)=-sinα
    tan(π/2+α)=-cotα
    cot(π/2+α)=-tanα
    sin(π-α)=sinα
    cos(π-α)=-cosα
    tan(π-α)=-tanα
    cot(π-α)=-cotα
    sin(π+α)=-sinα
    cos(π+α)=-cosα
    tan(π+α)=tanα
    cot(π+α)=cotα
    sin(3π/2-α)=-cosα
    cos(3π/2-α)=-sinα
    tan(3π/2-α)=cotα
    cot(3π/2-α)=tanα
    sin(3π/2+α)=-cosα
    cos(3π/2+α)=sinα
    tan(3π/2+α)=-cotα
    cot(3π/2+α)=-tanα
    sin(2π-α)=-sinα
    cos(2π-α)=cosα
    tan(2π-α)=-tanα
    cot(2π-α)=-cotα
    sin(2kπ+α)=sinα
    cos(2kπ+α)=cosα
    tan(2kπ+α)=tanα
    cot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)

    二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式
    Sin(2α)=2sinαcosα
    Cos(2α)=(cosα)2-(sinα)2=2(cosα)2-1=1-2(sinα)2
    Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
    sin(3α)=3sinα-4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
    cos(3α)=4cos3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
    tan(3α)=(3tanα-tan3α)/(1-3tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
    和差化积、积化和差公式
    sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
    sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
    cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
    cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
    sinαcosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]
    sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2
    cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
    sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
    cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

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