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  4. 一元一次不等式的解法一元一次不等式组的解法不等式待定系数的取值范围

解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.(1)5(x-2)>4(2x-1)(2)2x-7<3(x-1)43x+3≥1-23x

一、题文

解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.
(1)5(x-2)>4(2x-1)            (2)
2x-7<3(x-1)
4
3
x+3≥1-
2
3
x

考点提示:一元一次不等式的解法,一元一次不等式组的解法,不等式待定系数的取值范围

二、答案

(1)5(x-2)>4(2x-1),
去括号得:5x-10>8x-4,
移项得:5x-8x>-4+10,
合并同类项得:-3x>6,
把x的系数化为1得:x<-2.

(2)解2x-7<3(x-1)得:
x>-4,
4
3
x+3≥ 1-
2
3
x,
整理得:2x≥-2,
解得:x≥-1,
∴不等式组的解集为:-1≤x.

三、考点梳理

知名教师分析,《解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.(1)5(x-2)>4(2x-1)(2)2x-7<3(x-1)43x+3≥1-23x》这道题主要考你对 一元一次不等式的解法一元一次不等式组的解法不等式待定系数的取值范围 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一元一次不等式的解法,一元一次不等式组的解法,不等式待定系数的取值范围

考点名称:一元一次不等式的解法
  • 一元一次不等式的解集:
    一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。例如﹕
    不等式x-5≤-1的解集为x≤4;
    不等式x﹥0的解集是所有正实数。

    求不等式解集的过程叫做解不等式。
    将不等式化为ax>b的形式
    (1)若a>0,则解集为x>b/a
    (2)若a<0,则解集为x<b/a

    一元一次不等式的特殊解:
    不等式的解集一般是一个取值范围,但有时需要求未知数的某些特殊解,如求正数解、整数解、最大整数解等,解答这类问题关键是明确解的特征。

  • 不等式的解与解集:
    不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2>1的解
    ①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立。
    ②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是。
    ③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x>3的解,但也存在特殊情况,如|x|≦0,就只有一个解,为x=0

    不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
    ①不等式的解集一般是一个取值范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无数个解。
    ②不等式的解集包含两方面的意思:
    解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立。(即不等式不成立)
    ③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点。
  • 一元一次不等式的解法
    解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等式的符号。
    有两种解题思路:
    (1)可以利用不等式的基本性质,设法将未知数保留在不等式的一边,其他项在另一边;
    (2)采用解一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。 

    解一元一次不等式的一般顺序:
    (1)去分母 (运用不等式性质2、3)   
    (2)去括号   
    (3)移项 (运用不等式性质1)   
    (4)合并同类项。   
    (5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)   
    (6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
     
    不等式解集的表示方法:
    (1) 用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来。
    例如:x-1≤2的解集是x≤3。   
    (2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解。
    用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。

考点名称:一元一次不等式组的解法
  • 一元一次不等式组解集:
    一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
    注:当任何数x都不能使各个不等式同时成立,我们就说这个一元一次不等式组无解或其解集为空集。
    例如:
    不等式x-5≤-1的解集为x≤4;
    不等式x﹥0的解集是所有非零实数。
    解法:求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

  • 求几个一元一次不等式的解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的,公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分;
    一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定,它们的解集、数轴表示如下表:(设a<b)
  • 一元一次不等式组的解答步骤:
    (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
    (2)将这些不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的的公共部分;
    (3)根据找出的公共部分写出不等式组的解集,若没有公共部分,说明不等式组无解。

    解法诀窍:
    同大取大 ;
    例如:
    X>-1
    X>2
    不等式组的解集是X>2

    同小取小;
    例如:
    X<-4
    X<-6
    不等式组的解集是X<-6

    大小小大中间找;
    例如,
    x<2,x>1,不等式组的解集是1<x<2

    大大小小不用找
    例如,
    x<2,x>3,不等式组无解

  • 一元一次不等式组的整数解:
    一元一次不等式组的整数解是指在不等式组中各个不等式的解集中满足整数条件的解的公共部分。
    求一元一次不等式组的整数解的一般步骤:先求出不等式组的解集,再从解集中找出所有整数解,其中要注意整数解的取值范围不要搞错。
    例如



    所以原不等式的整数解为1,2。

考点名称:不等式待定系数的取值范围
  • 不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解,确定不等式中未知数的系数的取值范围。
  • 不等式待定系数的取值范围求法:
    一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围  
    例:
    如果关于x的不等式(a+1)x>2a+2.的解集为x<2,则a的取值范围是    (    )
        A.a<0  B.a<一l   C.a>l  D.a>一l
    解:将原不等式与其解集进行比较,发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3,因此有a+l<0,得a<一1,故选B.

    二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围
    例:
    已知不等式组的整数解只有5、6。求a和b的范围.
    解:解不等式组得,借助于数轴,如图:

    知: 2+a只能在4与5之间。只能在6与7之间.
    ∴4≤2+a<5,6<≤7
    ∴2≤a<3,13<b≤15


    三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
    例:
    已知2a-3x+1=0,3b-2x-16=0,且a≤4<b,求x的取值范围.
    解:由2a-3x+1=0,可得a= ;由3b-2x-16=0,可得b= .
    又a≤4<b,
    所以,  ≤4<
    解得:-2<x≤3.

    四、逆用不等式组解集求解
    例:

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