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  4. 一元一次不等式的解法一元一次方程的解法

解下列方程或不等式:⑴>⑵

一、题文

解下列方程或不等式:⑴            
⑵  

考点提示:一元一次不等式的解法,一元一次方程的解法

二、答案

解:⑴≤0     
   ⑵

三、考点梳理

知名教师分析,《解下列方程或不等式:⑴>⑵》这道题主要考你对 一元一次不等式的解法一元一次方程的解法 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:一元一次不等式的解法,一元一次方程的解法

考点名称:一元一次不等式的解法
  • 一元一次不等式的解集:
    一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。例如﹕
    不等式x-5≤-1的解集为x≤4;
    不等式x﹥0的解集是所有正实数。

    求不等式解集的过程叫做解不等式。
    将不等式化为ax>b的形式
    (1)若a>0,则解集为x>b/a
    (2)若a<0,则解集为x<b/a

    一元一次不等式的特殊解:
    不等式的解集一般是一个取值范围,但有时需要求未知数的某些特殊解,如求正数解、整数解、最大整数解等,解答这类问题关键是明确解的特征。

  • 不等式的解与解集:
    不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2>1的解
    ①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立。
    ②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是。
    ③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x>3的解,但也存在特殊情况,如|x|≦0,就只有一个解,为x=0

    不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
    ①不等式的解集一般是一个取值范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无数个解。
    ②不等式的解集包含两方面的意思:
    解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立。(即不等式不成立)
    ③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点。
  • 一元一次不等式的解法
    解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等式的符号。
    有两种解题思路:
    (1)可以利用不等式的基本性质,设法将未知数保留在不等式的一边,其他项在另一边;
    (2)采用解一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。 

    解一元一次不等式的一般顺序:
    (1)去分母 (运用不等式性质2、3)   
    (2)去括号   
    (3)移项 (运用不等式性质1)   
    (4)合并同类项。   
    (5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)   
    (6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
     
    不等式解集的表示方法:
    (1) 用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来。
    例如:x-1≤2的解集是x≤3。   
    (2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解。
    用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。

考点名称:一元一次方程的解法
  • 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  • 解一元一次方程的注意事项:
    1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
    2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号;
    3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
    4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
    5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
    6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法;
    7、分、小数运算时不能嫌麻烦;
    8、不要跳步,一步步仔细算 。
  • 解一元一次方程的步骤:
    一般解法:
    ⒈去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘);
    依据:等式的性质2
    ⒉ 去括号:一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,可根据 乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)
    依据:乘法分配律
    ⒊ 移项:把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边,而把常数项移到右边)
    依据:等式的性质1
    ⒋ 合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
    依据:乘法分配律(逆用乘法分配律)
    ⒌ 系数化为1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解
    依据:等式的性质2

    方程的同解原理
    如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。
    ⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
    ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 

    做一元一次方程应用题的重要方法:
    ⒈认真 审题(审题) 
    ⒉分析已知和未知量 
    ⒊找一个合适的 等量关系 
    ⒋设一个恰当的未知数  
    ⒌列出合理的方程 (列式) 
    ⒍解出方程(解题)  
    ⒎ 检验 
    ⒏写出答案(作答)

    例:ax=b(a、b为常数)?
    解:当a≠0,b=0时,
    ax=0
    x=0(此种情况与下一种一样)
    当a≠0时,x=b/a。
    当a=0,b=0时,方程有无数个解(注意:这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程)
    当a=0,b≠0时,方程无解(此种情况也不属于一元一次方程)
    例:
    (3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5

    去分母(方程两边同乘各分母的最小 公倍数)得:
    5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
    去括号得:
    15x+5-20=3x-2-4x-6
    移项得:
    15x-3x+4x=-2-6-5+20
    合并同类项得:
    16x=7
    系数化为1得:
    x=7/16。

    注:字母公式(等式的性质)
    a=b a+c=b+c a-c=b-c (等式的性质1)
    a=b ac=bc
    a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c(等式的性质2)
    检验 算出后需检验的。
    求根公式
    由于一元一次方程是 基本方程,教科书上的解法只有上述的方法。
    但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0
    可得出求根公式x=-(b/a)

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