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已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42,最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?

一、题文

已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42,最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?

考点提示:有理数除法

二、答案

①设这组四位数共n个,分别为
a1=42x1,a2=42x2,a3=42x3,an=42xn,其中的每个ai=42xi是四位数,
所以1000≤42xi<10000,23<
1000
42
xi
10000
42
<239

②由题设知90090=[a1,a2,an]=[42x1,42x2,42xn]=42[x1,x2,xn]
所以[x1,x2,xn]=
90090
42
=2145=3×5×11×13,其中23<xi<239.(*)
可知xi是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143,三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.
a1=42×33=1386,a2=42×39=1638,
a3=42×55=2310,a4=42×65=2730,
a5=42×143=6006,a6=42×165=6930,
a7=42×195=8190.
它们的和等于
42×(33+39+55+65+143+165+195)
=42×695=29190.
答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.

三、考点梳理

知名教师分析,《已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42,最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?》这道题主要考你对 有理数除法 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:有理数除法

考点名称:有理数除法
  • 有理数除法定义:
    已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
  • 有理数的除法法则:
    (1)除以一个数,等于乘上这个数的倒数;
    (2)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
    (3)0除以任何一个不等于0的数都等于0。

  • 有理数除法注意:
    ①0不能做除数;
    ②有理数的除法和乘法是互逆运算;
    ③在做除法运算时,根据同号得正,异号的负的法则先确定符号,在把绝对值相除,若在算式中有带分数,一般化成假分数进行计算,若不能整除,则除法运算都转化为乘法运算。

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