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  4. 分式的加减

探究题:已知:1-12=11×2,12-13=12×3,13-14=13×4…(1)观察上面式子的规律,请你猜测并写出第五项;(2)上述的规律用一般的式子可以表示为:1n-1n+1=1n(n+1)(n

一、题文

探究题:已知:1-
1
2
=
1
1×2
1
2
-
1
3
=
1
2×3
1
3
-
1
4
=
1
3×4

(1)观察上面式子的规律,请你猜测并写出第五项;
(2)上述的规律用一般的式子可以表示为:
1
n
-
1
n+1
=
1
n(n+1)
(n为正整数);试证明它的正确性;
(3)请直接用上述的结果计算
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
x(x+1)
(x为正整数)的值.

考点提示:分式的加减

二、答案

(1)∵1-
1
2
=
1
1×2
1
2
-
1
3
=
1
2×3
1
3
-
1
4
=
1
3×4

∴第五项:
1
5
-
1
6
=
1
5×6


(2)左边=
1
n
-
1
n+1

=
n+1
n(n+1)
-
n
n(n+1)

=
n+1-n
n(n+1)

=
1
n(n+1)

∵左边=右边,
1
n
-
1
n+1
=
1
n(n+1)
(n为正整数);

(3)原式=
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
x
-
1
x+1

=
1
2
-
1
x+1

=
x+1-2
2(x+1)

=
x-1
2(x+1)

三、考点梳理

知名教师分析,《探究题:已知:1-12=11×2,12-13=12×3,13-14=13×4…(1)观察上面式子的规律,请你猜测并写出第五项;(2)上述的规律用一般的式子可以表示为:1n-1n+1=1n(n+1)(n》这道题主要考你对 分式的加减 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:分式的加减

考点名称:分式的加减
  • 分式的加减法则:
    同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
    异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。
    用式子表示为:
  • 分式的加减要求:
    ①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式,运算中要适时地约分;
    ②如果一个分式与一个整式相加减,那么可以把整式看成是分母为1的分式,先通分,再进行加减。

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