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问题提出我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作

一、题文

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
a+b
2
元/千克和
2ab
a+b
元/千克(a、b是正数,且a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).

联系拓广
小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.

考点提示:分式的加减乘除混合运算及分式的化简

二、答案

类比应用
(1)
a+b
2
-
2ab
a+b
=
(a+b)2-4ab
2(a+b)
=
(a-b)2
2(a+b)

∵a、b是正数,且a≠b,
(a-b)2
2(a+b)
>0,
a+b
2
2ab
a+b

∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高;

(2)由图知,M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c,
N1=2(a-c+b+3c)=2a+2b+4c,
M1-N1=2a+4b+2c-(2a+2b+4c)=2(b-c),
∵b>c,
∴2(b-c)>0,即:M1-N1>0,
∴M1>N1
∴第一个矩形大于第二个矩形的周长.
联系拓广
设图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c,
设图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c,
设图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c,
∵L1-L2=4a+4b+8c-(4a+4b+4c)=4c>0,
∴L1>L2
∵L3-L2=6a+4b+6c-(4a+4b+4c)=2a+2c>0,
∴L3-L1=6a+4b+6c-(4a+4b+8c)=2(a-c),
∵a>c,
∴2(a-c)>0,
∴L3>L1
∴第二种方法用绳最短,第三种方法用绳最长.

三、考点梳理

知名教师分析,《问题提出我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作》这道题主要考你对 分式的加减乘除混合运算及分式的化简 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称:分式的加减乘除混合运算及分式的化简
  • 分式的加减乘除混合运算:
    分式的混合运算应先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法,再运用乘法运算。

    分式的化简:借助分式的基本性质,应用换元法、整体代入法等,通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  • 分式的混合运算:
    在解答分式的乘除法混合运算时,注意两点,就可以了:
    注意运算的顺序:按照从左到右的顺序依次计算;
    注意分式乘除法法则的灵活应用。

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