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  4. 自由落体运动竖直上抛运动

有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速度为零),落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动.现用支

一、题文

有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速度为零),落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动.现用支架固定一照相机,用以拍摄小球在空间的位置.每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片,照相机的曝光时间极短,可忽略不计.从所拍到的照片发现,每张照片上小球都处于同一位置.求小球开始下落处离玻璃管底部距离(用H表示)的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值.

考点提示:自由落体运动,竖直上抛运动

二、答案

小球沿竖直线上下运动时,其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示.设照片拍摄到的小球位置用A表示,A离玻璃管底部的距离为hA,小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A点,也可在上升的过程中经过A点.现以τ表示小球从最高点(即开始下落处)落到玻璃管底部所需的时间(也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间),τ1表示小球从最高点下落至A点所需的时间(也就是从A点上升至最高点所需的时间),τ2表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间(也就是从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间).显然,τ12=τ.根据题意,在时间间隔T 的起始时刻和终了时刻小球都在A点.用n表示时间间隔 T 内(包括起始时刻和终了时刻)小球位于A点的次数(n≥2).下面分两种情况进行讨论:



1.A点不正好在最高点或最低点.
当n为奇数时有
T=(n-1)τ1+(n-1)τ2=(n-1)τ     n=3,5,7,…(1)
在(1)式中,根据题意τ1可取0<τ1<τ中的任意值,而
τ2=τ-τ1 (2)
当n为偶数时有
T=nτ2+(n-2)τ1=nτ1+(n-2)τ2    n=2,4,6,…(3)
由(3)式得τ12 (4)
由(1)、(3)、(4)式知,不论n是奇数还是偶数,都有
T=(n-1)τ   n=2,3,4,…(5)
因此可求得,开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为
Hn=
1
2
g
τ2=
1
2
g(
T
n-1
)2
     n=2,3,4,…(6)
若用Hn表示与n对应的H值,则与Hn相应的A点到玻璃管底部的距离
hA=Hn-
1
2
g
τ2  n=2,3,4,…(7)
当n为奇数时,τ1可取0<τ1<τ中的任意值,故有
0<hA<Hn[Hn=
1
2
g(
T
n-1
)
2
]n=3,5,7,・・・(8)
可见与Hn相应的hA的可能值为0与Hn之间的任意值.
当n为偶数时,τ1=
1
2
τ,由(6)式、(7)式求得Hn的可能值
hA=
3
4
Hn
[Hn=
1
2
g(
T
n-1
)
2
]n=2,4,6,・・・・(9)
2.若A点正好在最高点或最低点.
无论n是奇数还是偶数都有
T=2(n-1)τ      n=2,3,4,・・・(10)
Hn=
1
2
g
τ2=
1
2
g[
T
2(n-1)
]
2
     n=2,3,4,・・・(11)
hA=Hn     {Hn=
1
2
g[
T
2(n-1)
]
2
} n=2,3,4,・・・(12)
或 hA=0 (13)

三、考点梳理

知名教师分析,《有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速度为零),落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动.现用支》这道题主要考你对 自由落体运动竖直上抛运动 等知识点的理解。

关于这些知识点的“解析掌握知识”如下:

知识点名称:自由落体运动,竖直上抛运动

考点名称:自由落体运动
  • 自由落体运动:
    物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。

    自由落体运动的公式:
    v=gt;h=gt2;v2=2gh。

    运动性质:
    自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。

    自由落体加速度:
    在同一地点,一切物体在自由落体运动中的加速度都相同,这个加速度叫自由落体加速度,也叫重力加速度。

  • 物体做自由落体运动的条件:

    ①只受重力而不受其他任何力,包括空气阻力。
    ②从静止开始下落。

    重力加速度g:

    ①方向:总是竖直向下的。
    ②大小:g=9.8m/s2,粗略计算可取g=10m/s2
    ③在地球上不同的地方,g的大小不同.g随纬度的增加而增大(赤道g最小,两极g最大),g随高度的增加而减小。

  • 知识点拨:

    自由落体运动的规律:
    自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,所以,匀变速直线运动公式也适用于自由落体运动。

  • 小知识--重力加速度:

    ①把地球当做旋转椭球,重力加速度计算公式为:g=9.7803(1+0.0052884-0.00000592)m/s2
        
    式中为物体所在处的地理纬度
    ②重力加速度还和物体离地面的高度h有关。当h远小于地球半径R时,

    小知识—空气阻力:

    空气阻力是物体在空气中运动时受到的阻力。空气阻力的大小与物体相对于空气的速度、物体的形状等都有很大的关系。

考点名称:竖直上抛运动
  • 竖直上抛运动:

    将物体以一定初速度沿竖直方向向上抛出,物体只在重力作用下运动(不考虑空气阻力作用),叫做竖直上抛运动。

    竖直上抛运动的公式:
    vt=v0-gt;h=v0t-gt2;速度位移公式:vt2-v02=-2gh。

    运动特征:

    ①运动到最高点v=0,a=-g(取竖直向下方向为正方向);
    ②能上升的最大高度hmax=
    ③质点在通过同一高度位置时,上升速度与下落速度大小相等;物体在通过一段高度过程中,上升时间与下落时间相等,
    ④物体只受重力作用,具有竖直向上的初速度。

    运动性质:

    初速度不为零的匀变速直线运动。

  • 竖直上抛的处理方法:

    1、分段处理法:

    ①上升阶段:已知v0,a=-g,vt=0的匀减速直线运动,取向上为正方向较方便。所以运动规律为
        
        故,上升时间,最大高度

    ②最高点v=0,可是不处于静止状态,因为a=g。

    ③下降阶段:自由落体运动,取向下为正方向较方便。
          

    2、对称性:

    ①竖直上抛的物体上抛达到最大高度与从这一高度落回抛出点所用的时间相等。

    ②竖直上抛物体在上升和下落过程中经过同一位置时的速度大小相等方向相反。

    3、V-t图像:

    4、整体分析法:

    将全过程看成是加速度为-g的匀变速直线运动,应用公式

    (1)s为正,表示质点在抛出点的上方,s为负表示在抛出点的下方。

    (2)由同一s求出的t、可能有两个解,要注意分清其意义。

    (3)算出的vt>0表示物体在向上过程中,vt<0表示物体在向下过程中;s>0表示物体在抛出点上方,s<0表示物体在抛出点下方.

     

     

     

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